Frage von derdieter26: Grundlagen Physik – Strömungslehre?
Hallo alle miteinander.
Leider finde ich nicht den richtigen Zugang zu nachfolgender Aufgabe und hoffe, dass mir hier jemand einen Impuls geben kann 
Aufgabentext:
Welchen Durchmesser d müsste _RECHNERISCH_ ein l= 21 m langes ( glattes ) Lüftungsrohr haben, wenn durch dieses Rohr die Luft eines 9m x 14m x 4m großen Raumes _ALLE_ 10 Minuten komplett ausgetauscht werden soll? Der Lüftungsventilator erzeugt einen Überdruck gegenüber dem Normdruck der Außenluft von /_\p = 0,71hPa, der für die Aufrechterhaltung des erforderlichen Volumenstromes sorgt. Die Luft soll als _REALE_ Strömung mit der Viskosität ( n| = 0,018*10 ^ -3 Pa*s ) und der Dichte ‘p’ = 1,29 kg/m³ betrachtet werden.
Vielleicht hat jemand hier eine Idee – wenn auch nur für den Start der Bearbeitung – stehe irgendwie voll auf dem Schlauch 
Gruß
Beste Antwort:
Answer by P4
Bei der Bearbeitung der Aufgabe soll vermutlich die Konzentration auf dem Lüftungsrohr liegen.
Wird Luft über die Entlüftung abgesaugt, dann muss es Belüftungen (z. B. Lüftungsschlitze in der Tür) gegeben. Es wird angenommen, dass es eine ausreichende Belüftung gibt. Hier muss also nichts dazu gerechnet werden.
Die gesamte Luft im Raum soll ausgetauscht werden. Das setzt eine entsprechende Kontrolle des Luftstroms voraus. Es darf keine Bereich mit geringer oder keiner Luftbewegung geben. Es wird angenommen, dass der Raum entsprechend konzipiert ist. Hier wird nichts dazu gerechnet.
Das Volumen des Raums
V = 9 m * 14 m * 4 m
V = 504 m³
Die Größe des Raums ist angegeben. Durch Einrichtungsteile, Maschinen wird das Luftvolumen im Raum kleiner sein als das Volumen des Raums. Dieses wird hier vernachlässigt.
Dieses Volumen soll innerhalb von 10 Minuten durch die Entlüftung abgesaugt werden. Der notwendige Volumenstrom
dV/dt = 504 m³ / 10 min
dV/dt = 504 m³ / 600 s
dV/dt = 0,84 m³/s
Die Länge des geraden und glatten Lüftungsrohrs ist
L = 21 m
An einer Seite des Rohrs ist ein Ventilator. Dieser erzeugt einen Überdruck. Auf der anderen Seite des Rohrs ist der Umgebungsdruck. Entlang des Rohrs ist die Druckdifferenz
deltaP = 0,71 hPa
deltaP = 71 Pa
Die einfachste Strömung ist die laminare Strömung. Die laminare Strömung durch ein Rohr mit kreisrundem Querschnitt wird durch das Hagen-Poiseuillesche Gesetz beschreiben. Das Gesetz berücksichtigt innere Reibung im Fluid (Gas oder Flüssigkeit) und eine Reibung an der Rohrwand.
Die Formel, Hagen-Poiseuillesche Gesetz [1]:
dV/dt = ( pi R^4 deltaP )/( 8 eta L )
dV/dt ist der Volumenstrom durch das Rohr getrieben durch die Druckdifferenz deltaP. Das Rohr hat die Länge L und den Radius R. Das Fluid hat die dynamische Viskosität eta. Die dynamische Viskosität ist ein Mass für die Reibung in der Flüssigkeit.
Die dynamische Viskosität ist in der Aufgabe gegeben
eta = 0,018*10^(-3) Pa s
eta = 18*10^(-6) Pa s
Gesucht ist der Radius R. Auflösen der Formel nach R
8 eta L dV/dt = pi R^4 deltaP
R^4 = (8 eta L dV/dt )/( pi deltaP )
R = 4.Wurzel( (8 eta L dV/dt )/( pi deltaP ) )
Die Werte eingesetzt liefert
R = 0,05809158 m
Durchmesser
d = 2R
d = 11,61832 cm
Das Rohr muss ein Durchmesser von 12 cm haben.
Ist die Strömung turbulent, so ist der Strömungswiderstand größer. Bei gleichem Rohr und gleicher Druckdifferenz ergibt sich dann ein kleinerer Volumenstrom.
Ob eine Strömung laminar oder turbulent ist, kann mit der Reynolds-Zahl abgeschätzt werden. Das ist nur eine Abschätzung, ein Vergleich mit typischen Werten, keine genaue Berechnung der Strömung.
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der berechneten laminaren Strömung ist
v = ( dV/dt )/( pi R² )
v = 79,23243 m/s
Bei der laminaren Strömung ist die Geschwindigkeit der Grenzschicht an der Wand 0, die Geschwindigkeit in der Rohrmitte maximal (parabolisches Geschwindigkeitsprofil). Die mittlere Geschwindigkeit wird hier für eine Abschätzung der Reynolds-Zahl benutzt.
Die Reynolds-Zahl [1]
Re = ( L rho v )/ eta
dabei ist L eine typische Länge in der Strömung (z. B. Rohrdurchmesser) und v die Strömungsgeschwindigkeit. Die Dichte des Fluids ist rho.
Gegeben ist in der Aufgabe
rho = 1,29 kg/m³
Mit den vorhandenen Werte Re berechnet
Re = ( 2R rho v )/ eta
Re = 659725,7
Re = 6 * 10^5
Die kritische Reynolds-Zahl für ein kreisrundes Rohr ist 2320. [1] Die Abschätzung hier führte auf ein wesentlich größere Reynolds-Zahl. Also ist die Strömung sehr wahrscheinlich nicht laminar, sondern turbulent.
Für ein glattes Rohr und eine turbulente Strömung gibt es die Formeln nach Blasius. Angegeben [1] ist für diese Näherung der Gültigkeitsbereich 2320 < Re < 10^5. Der notwendige Durchmesser nach dieser Formel wird größer, dann wird die Strömungsgeschwindigkeit kleiner. Also wird die Reynolds-Zahl im angegebenen Bereich liegen.
Die Formel ist [2]
deltaP / L = 0,0665 ( ( eta rho^3 v^7 )/( R^5 ) )^(1/4)
dabei ist L die Länge und R der Radius des Rohrs. Die treibende Druckdifferenz ist deltaP. Die dynamische Viskosität eta und die Dichte rho charakterisieren das Fluid. Die Strömungsgeschwindigkeit im Rohr ist v.
v = ( Vp )/( pi R² )
mit Vp = dV/dt als Volumenstrom
eingesetzt und aufgelöst nach R
deltaP / L = 0,0665 ( ( eta rho^3 Vp^7 )/( pi R² )^7 )/( R^5 ) )^(1/4)
deltaP / L = 0,0665 ( ( eta rho^3 Vp^7 )/( pi^7 R^19) )^(1/4)
( pi^7 R^19) )^(1/4) deltaP = 0,0665 L ( eta rho^3 Vp^7 )^(1/4)
pi^7 R^19 = eta rho^3 Vp^7 ( ( 0,0665 L )/( deltaP ) )^4
R^19 = eta rho^3 (Vp/pi)^7 ( ( 0,0665 L )/( deltaP ) )^4
R = ( eta rho^3 (Vp/pi)^7 ( ( 0,0665 L )/( deltaP ) )^4 )^(1/19)
Die Werte eingesetzt
R = 0,15755715 m
d = 2R = 0,3151431 m = 31,51431 cm
Der benötigte Rohrdurchmesser beträgt 32 cm.
Wieder zur Kontrolle die Reynolds-Zahl berechnen.
v = ( dV/dt )/( pi R² )
v = 10,76896 m/s
Re = ( 2R rho v )/ eta
Re = 243219,7
Re = 2*10^5
Das liegt an der oberen Grenze des Gültigkeitsbereichs der Blasius Formel. Der gefundene Durchmesser sollte also eine brauchbare Abschätzung sein.
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